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初中数学新课程标准(最新2017)

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初中数学新课程标准(最新2007)

第一部分 前 言

  数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论,并进行广泛 应用的过程。20世纪中叶以来,数学自身发生了巨大的变化,特别是与计算机的结合,使得 数学在研究领域、研究方式和应用范围等方面得到了空前的拓展。数学可以帮助人们更好 地 探求客观世界的规律,并对现代社会中大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择与判断,同时为 人们交流信息提供了一种有效、简捷的手段。数学作为一种普遍适用的技术,有助于人们收 集、整理、描述信息,建立数学模型,进而解决问题,直接为社会创造价值。

  义务教育阶段的数学课程,其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅要考 虑数学自身的特点,更应遵循学生学习数学的心理规律,强调从学生已有的生活经验出发, 让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程,进而使学生获得对数 学理解的同时,在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。 

一、基本理念

  1.义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性,使数 学教育面向全体学生,实现:

  --人人学有价值的数学;

  --人人都能获得必需的数学; 

  --不同的人在数学上得到不同的发展。

  2.数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具,能够帮助人们处理数据 、进行计算、推理 和证明,数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象;数学为其他科学提供了语言、思想 和方法,是一切重大技术发展的基础;数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造 力等方面有着独特的作用;数学是人类的一种文化,它的内容、思想、方法和语言是现代文 明的重要组成部分。

  3.学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的,这些内 容要有利 于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现应采用不 同的表达方式,以满足多样化的学习需求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆 ,动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由于学生所处的文化环境、 家庭背景和自身思维方式的不同,学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富 有个性的过程。 

  4.数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之 上。教师应激发 学生的学习积极性,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流 的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经 验。学生是数学学习的主人,教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。

  5.评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程,激励学生的学习 和改进教师的教 学;应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系。对数学学习的评价要关注学生学习的 结果,更要关注他们学习的过程;要关注学生数学学习的水平,更要关注他们在数学活 动中所表现出来的情感与态度,帮助学生认识自我,建立信心。

  6.现代信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及学与教的方式 产生了重大的影 响。数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术,特别要充分考虑计算器、计算机对数 学学习内容和方式的影响,大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源,把现代信息技术作 为学生学习数学和解决问题的强有力工具,致力于改变学生的学习方式,使学生乐意并有更 多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。

二、设计思路

  (一) 关于学段 

  为了体现义务教育阶段数学课程的整体性,《全日制义务教育数学课程标准(实验 稿)》(以下简称 《标准》)通盘考虑了九年的课程内容;同时,根据儿童发展的生理和心理特征,将九年的学习时间具体划分为三个学段:

第一学段(1~3年级)、第二学段(4~6年级)、第三学段(7~9年级)。 

  (二) 关于目标

   根据《基础教育课程改革纲要(试行)》,结合数学教育的特点,《标准》明 确了义务教育阶段数学课程的总目标,并从知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度 等四个方面作出了进一步的阐述。

www.ertong6.com   《标准》中不仅使用了"了解(认识)、理解、掌握、灵活运用"等刻画知识技能的目 标动词,而且使用了"经历(感受)、体验(体会)、探索"等刻画数学活动水平的过程性 目标动词,从而更好地体现了《标准》对学生在数学思考、解决问题以及情感与态度等方面 的要求。

  知识技能目标 了解(认识) 能从具体事例中,知道或能举例说明对象的有关特征(或意义);能根据对象的特征,从具体 情境中辨认出这一对象。 

  理解 能描述对象的特征和由来;能明确地阐述此对象与有关对象之间的区别和联系。 

  掌握 能在理解的基础上,把对象运用到新的情境中。 

  灵活运用 能综合运用知识,灵活、合理地选择与运用有关的方法完成特定的数学任务。 

  过程性目标 经历(感受) 在特定的数学活动中,获得一些初步的经验。 

  体验(体会) 参与特定的数学活动,在具体情境中初步认识对象的特征,获得一些经验。 

  探索 主动参与特定的数学活动,通过观察、实验、推理等活动发现对象的某些特征或与其他对象的区别和联系。 

  (三) 关于学习内容                          在各个学段中,《标准》安排了"数与代数" "空间与图形" "统计与概率" "实践与 综合应用"四个学习领域。课程内容的学习,强调学生的数学活动,发展学生的数感、符号 感、空间观念、统计观念,以及应用意识与推理能力。 

  数感主要表现在:理解数的意义;能用多种方法来表示数;能在具体的情 境中把握数的相对 大小关系;能用数来表达和交流信息;能为解决问题而选择适当的算法;能估计运算的结果 ,并对结果的合理性作出解释。

  符号感主要表现在:能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律,并用符 号来表示;理解符 号所代表的数量关系和变化规律;会进行符号间的转换;能选择适当的程序和方法解决用符 号所表达的问题。

  空间观念主要表现在:能由实物的形状想像出几何图形,由几何图形想像 出实物的形状,进 行几何体与其三视图、展开图之间的转化;能根据条件做出立体模型或画出图形;能从较复 杂的图形中分解出基本的图形,并能分析其中的基本元素及其关系;能描述实物或几何图形 的运动和变化;能采用适当的方式描述物体间的位置关系;能运用图形形象地描述问题,利 用直观来进行思考。

  统计观念主要表现在:能从统计的角度思考与数据信息有关的问题;能通 过收集数据、描述 数据、分析数据的过程作出合理的决策,认识到统计对决策的作用;能对数据的来源、处理 数据的方法,以及由此得到的结果进行合理的质疑。

  应用意识主要表现在:认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息、数学在 现实世界中有着广泛的应用;面对实际问题时,能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和 方法寻求解决问题的策略;面对新的数学知识时,能主动地寻找其实际背景,并探索其 应用价值。

  推理能力主要表现在:能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想, 并进一步寻求证据、给出证明或举出反例;能清晰、有条理地表达自己的思考过程,做到言 之有理、落笔有据;在与他人交流的过程中,能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑 。

  为了体现数学课程的灵活性和选择性,《标准》在内容标准中仅规定了学生在相应 学段应该 达到的基本水平,教材编者及各地区、学校,特别是教师应根据学生的学习愿望及其发展的 可能性,实施因材施教。同时,《标准》并不规定内容的呈现顺序和形式, 教材可以有多种 编排方式。

  (四) 关于实施建议                          《标准》针对教学、评价、教材编写、课程资源的利用与开发提出了建议,供有关人员参考 ,以保证《标准》的顺利实施。

第二部分 课程目标

  一、总体目标

  通过义务教育阶段的数学学习,学生能够:

  ● 获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知 识(包括数学事实、数学活动经验)以及基本的数学思想方法和必要的应用技能;

  ● 初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会,去 解决日常生活中和其他学科学习中的问题,增强应用数学的意识;

  ● 体会数学与自然及人类社会的密切联系,了解数学的价值 ,增进对数学的理解和学好数学的信心;

  ● 具有初步的创新精神和实践能力,在情感态度和一般能力 方面都能得到充分发展。

具体阐述如下:

  知识与技能 

www.ertong6.com   ● 经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程,掌 握数与代数的基础知识和基本技能,并能解决简单的问题。                

  ● 经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程,掌 握空间与图形的基础知识和基本技能,并能解决简单的问题。           

  ● 经历提出问题、收集和处理数据、作出决策和预测的过程,掌握 统计与概率的基础知识和基本技能,并能解决简单的问题。

  数学思考

  ● 经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程,建立 初步的数感和符号感,发展抽象思维。 

  ● 丰富对现实空间及图形的认识,建立初步的空间观念,发展形象 思维。

  ● 经历运用数据描述信息、作出推断的过程,发展统计观念。      

  ● 经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能 力和初步的演绎推理能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点。

  解决问题

  ● 初步学会从数学的角度提出问题、理解问题,并能综合 运用所学的知识和技能解决问题,发展应用意识。                    

  ● 形成解决问题的一些基本策略,体验解决问题策略的多样性,发 展实践能力与创新精神。  

  ● 学会与人合作,并能与他人交流思维的过程和结果。        

  ● 初步形成评价与反思的意识。

  情感与态度

  ● 能积极参与数学学习活动,对数学有好奇心与求知欲。        

   ● 在数学学习活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立 自信心。 

  ● 初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用, 体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。    

  ● 形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。 

  以上四个方面的目标是一个密切联系的有机整体,对人的发展具有十分重要的作用,它 们是在丰富多彩的数学活动中实现的。其中,数学思考、解决问题、情感与态度的发展 离不开知识与技能的学习,同时,知识与技能的学习必须以有利于其他目标的实现为前提。

二、学段目标

第一学段(1~3年级) 第二学段(4~6年级) 第三学段(7~9年级) 

知识与技能 ● 经历从日常生活中抽象出数的过程,认识万以 内的数、小数、简单的 分数和常见的量;了解四则运算的意义,掌握必要的运算(包括估算)技能。

● 经历直观认识简单几何体和平面图形的过程,了解简单几何体和 平面图形,感受平移、旋转、对 称现象,能初步描述物体的相对位置,获得初步的测量(包括估测)、识图、作图等技能。

● 对数据的收集、整理、描述和分析过程有所体验,掌握一些简单 的数据处理技能;初步感受不确定现象

● 经历从现实生活中抽象出数及简单数量关系的过程,认识亿以内的数,了解分数、百分 数、负数的意义,掌握必要的运算(包括估算)技能;探索给定事物中隐含的规律,会用方 程表示简单的数量关系,会解简单的方程。

● 经历探索物体与图形的形状、大小、运动和位置关系的过程,了 解简单几何体和平面图形的 基本特征,能对简单图形进行变换,能初步确定物体的位置,发展测量(包括估测)、识图 、作图等技能。

● 经历收集、整理、描述和分析数据的过程,掌握一些数据处理技 能;体验事件发生的等可能性、游戏规则的公平性,能计算一些简单事件发生的可能性。

● 经历从具体情境中抽象出符号的过程,认识有理数、实数、代数式、方程、不等式、函 数;掌握必要的运算(包括估算)技能;探索具体问题中的数量关系和变化规律,并能运用 代数式、方程、不等式、函数等进行描述。

● 经历探索物体与图形的基本性质、变换、位置关系的过程,掌握 三角形、四边形、圆的 基本性质以及平移、旋转、轴对称、相似等的基本性质,初步认识投影与视图,掌握基本的 识图、作图等技能;体会证明的必要性,能证明三角形和四边形的基本性质,掌握基本的推 理技能。

● 从事收集、描述、分析数据,作出判断并进行交流的活动,感受 抽样的必要性,体会用 样本估计总体的思想,掌握必要的数据处理技能;进一步丰富对概率的认识,知

www.ertong6.com 道频率与概 率的关系,会计算一些事件发生的概率

数学思考 ● 能运用生活经验,对有关的数字信息作出解释,并初步学会用具体的数描述现实世界中的 简单现象。

●在对简单物体和图形的形状、大小、位置关系、运动的探索过程中 ,发展空间观念。

●在教师的帮助下,初步学会选择有用信息进行简单的归纳与类比。 

●在解决问题过程中,能进行简单的、有条理的思考。

● 能对现实生活中有关的数字信息作出合理的解释,会用数、字母和图表描 述并解决现实世界中的简单问题.

●在探索物体的位置关系、图形的特征、图形的变换以及设计图案的 过程中,进一步发展空间观念。

●能根据解决问题的需要,收集有用的信息,进行归纳、类比与猜测 ,发展初步的合情推理能力。

●在解决问题过程中,能进行有条理的思考,能对结论的合理 性作出有说服力的说明。

● 能对具体情境中较大的数字信息作出合理的解释和推断,能用代数式、方程、不等式、函数 刻画事物间的相互关系。

●在探索图形的性质、图形的变换以及平面图形与空间几何体的相互 转换等活动过程中,初步建立空间观念,发展几何直觉。

●能收集、选择、处理数学信息,并作出合理的推断或大胆的猜测。 

●能用实例对一些数学猜想作出检验,从而增加猜想的可信程度或推 翻猜想。

●体会证明的必要性,发展初步的演绎推理能力。

解决问题 

●能在教师指导下,从日常生活中发现并提出简单的数学问题。

●了解同一问题可以有不同的解决办法。

●有与同伴合作解决问题的体验。

●初步学会表达解决问题的大致过程和结果。

●能从现实生活中发现并提出简单的数学问题。

●能探索出解决问题的有效方法,并试图寻找其他方法。

●能借助计算器解决问题。

●在解决问题的活动中,初步学会与他人合作。

●能表达解决问题的过程,并尝试解释所得的结果。

●具有回顾与分析解决问题过程的意识。

●能结合具体情境发现并提出数学问题。

●尝试从不同角度寻求解决问题的方法,并能有效地解决问题,尝试 评价不同方法之间的差异。

●体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性。

●能用文字、字母或图表等清楚地表达解决问题的过程,并解释结果 的合理性。

●通过对解决问题过程的反思,获得解决问题的经验。

情感与态度

●在他人的鼓励与帮助下,对身边与数学有关的某些事物有好奇心,能够积极参与生动、直 观的数学活动。

●在他人的鼓励与帮助下,能克服在数学活动中遇到的某些困难,获 得成功的体验,有学好数学的信心。

●了解可以用数和形来描述某些现象,感受数学与日常生活的密切联 系。

●经历观察、操作、归纳等学习数学的过程,感受数学思考过程的合 理性。

● 在他人的指导下,能够发现数学活动中的错误并及时改正。

●对周围环境中与数学有关的某些事物具有好奇心,能够主动参与教师组织的数学活动。 

●在他人的鼓励与引导下,能积极地克服数学活动中遇到的困难,有 克服困难和运用知识解 决问题的成功体验,对自己得到的结果正确与否有一定的把握,相信自己在学习中可以取得 不断的进步。

●体验数学与日常生活密切相关,认识到许多实际问题可以借助数学 方法来解决,并可以借助数学语言来表述和交流。

●通过观察、操作、归纳、类比、推断等数学活动,体验数学问题的 探索性和挑战性,感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性。

●对不懂的地方或不同的观点有提出疑问的意识,并愿意对数学问题 进行讨论,发现错误能及时改正。

●乐于接触社会环境中的数学信

www.ertong6.com 息,愿意谈论某些数学话题,能够在数学活动中发挥积极作 用。

●敢于面对数学活动中的困难,并有独立克服困难和运用知识解决问 题的成功体验,有学好数学的自信心。

●体验数、符号和图形是有效地描述现实世界的重要手段,认识到 数学是解决 实际问题和进行交流的重要工具,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。

●认识通过观察、实验、归纳、类比、推断可以获得数学猜想,体验 数学 活动充满着探索性和创造性,感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性。

●在独立思考的基础上,积极参与对数学问题的讨论,敢于发表自己 的观点,并尊重与理解他人的见解;能从交流中获益。

第三部分 内容标准 

  本部分分别阐述各个学段中"数与代数" "空间与图形" "统计与概率" "实践与综合应用"四个领域的内容标准。

  "数与代数"的内容主要包括数与式、方程与不等式、函数,它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型,可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世 界。

  "空间与图形"的内容主要涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换,它是人们更好地认识和描述生活空间并进行交流的重要工具。

  "统计与概率"主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,它通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻画,来帮助人们作出合理的推断和预测。 

  "实践与综合应用"将帮助学生综合运用已有的知识和经验,经过自主探索和合作交流,解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题,以发展他们解决问题的能力, 加深对"数与代数" "空间与图形" "统计与概率"内容的理解,体会各部分内容 之间的联系。

内容结构表 

学段 第一学段(1~3年级) 第二学段(4~6年级) 第三学段(7~9年级) 

数与代数

●数的认识●数的运算●常见的量 ●探索规律●数的认识 ●数的运算

●式与方程●探索规律●数与式 ●方程与不等式●函数●空间与图形 ●图形的认识 ●测量● 图形与变换●图形与位置●图形的认识●测量●图形与变换●图形与位置●图形的认识●图形与变换●图形与坐标●图形与证明 ●统计与概率 ●数据统计活动初步 ●不确定现象●简单数据统计过程 ●可能性●统计 ●概率●实践与综合应用 ●实践活动 ●综合应用 ●课题学习 

第三学段(7~9年级) 

一、数与代数

  在本学段中,学生将学习实数、整式和分式、方程和方程组、不等式和不等式组、函数 等知识,探索数、形及实际问题中蕴涵的关系和规律,初步掌握一些有效地表示、处理和交 流数量关系以及变化规律的工具,发展符号感,体会数学与现实生活的紧密联系,增强应用 意识,提高运用代数知识与方法解决问题的能力。

  在教学中,应注重让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律,注重使学生经历从 实际问题中建立数学模型、估计、求解、验证解的正确性与合理性的过程,应加强方程、不 等式、函数等内容的联系,介绍有关代数内容的几何背景;应避免繁琐的运算。 

  (一)具体目标

  1.数与式

(1)有理数

① 理解有理数的意义,能用数轴上的点表示有理数,会比较有理数的大小。

② 借助数轴理解相反数和绝对值的意义,会求有理数的相反数与绝对值(绝对值符号内不 含字母)。

③ 理解乘方的意义,掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步 为主)。

④ 理解有理数的运算律,并能运用运算律简化运算。

⑤ 能运用有理数的运算解决简单的问题。

⑥ 能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断。[参见例1]

  (2)实数 

  ① 了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、立方根。

  ② 了解开方与乘方互为逆运算,会用平方运算求某些非负数的平方根,会用立方运算求某 些数的立方根,会用计算器求平方根和立方根。

  ③ 了解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应。

www.ertong6.com   ④ 能用有理数估计一个无理数的大致范围。[参见例2]

  ⑤ 了解近似数与有效数字的概念;在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,并按问 题的要求对结果取近似值。

  ⑥ 了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则,会用它们进行有关实数的简单四则 运算(不要求分母有理化)。

  (3) 代数式

  ① 在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义。

  ② 能分析简单问题的数量关系,并用代数式表示。[参见例3与例4]

  ③ 能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义。[参见例5]

  ④ 会求代数式的值;能根据特定的问题查阅资料,找到所需要的公式,并会代入具体的值 进行计算。

  (4)整式与分式

  ① 了解整数指数幂的意义和基本性质,会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示)。 

  ② 了解整式的概念,会进行简单的整式加、减运算;会进行简单的整式乘法运算( 其中的多项式相乘仅指一次式相乘)。

  ③ 会推导乘法公式:(a+b)(a-b)= a2-b2;(a+b)2 = a2+2ab+ b2,了解公式的几何背景,并能进行简单计算。

  ④ 会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数)。 

  ⑤ 了解分式的概念,会利用分式的基本性质进行约分和通分,会进行简单的分式加、减、 乘、除运算。[参见例6] 

  2.方程与不等式

  (1)方程与方程组

  ① 能够根据具体问题中的数量关系,列出方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数 学模型。

  ② 经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程。[参见例7]

  ③ 会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程(方程中 的分式不超过两个)  。

  ④ 理解配方法,会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的 一元二次方程。

  ⑤ 能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理。

  (2)不等式与不等式组

  ① 能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义,并探索不等式的基本性质。

  ② 会解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集。会解由两个一元一次不等式组 成的不等式组,并会用数轴确定解集。

  ③ 能够根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式和一元一次不等式组,解决简单 的问题。

  3.函数

  (1)探索具体问题中的数量关系和变化规律[参见例8]

  (2)函数

  ① 通过简单实例,了解常量、变量的意义。

  ② 能结合实例,了解函数的概念和三种表示方法,能举出函数的实例。

  ③ 能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。[参见例9]

  ④ 能确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围,并会求出函数值 。

  ⑤ 能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系。[参见例10]

  ⑥ 结合对函数关系的分析,尝试对变量的变化规律进行初步预测。[参见例11]

 (3)一次函数

  ① 结合具体情境体会一次函数的意义,根据已知条件确定一次函数表达式。

  ② 会画一次函数的图象,根据一次函数的图象和解析表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解 其性质(k>0或k<0时,图象的变化情况 =。

  ③ 理解正比例函数。

  ④ 能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。

  ⑤ 能用一次函数解决实际问题。

www.ertong6.com   (4)反比例函数

  ① 结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数表达式。

  ② 能画出反比例函数的图象,根据图象和解析表达式y=kx(k≠0 )探索并理解其性质(k>0或k<0时,图象的变化)。

  ③ 能用反比例函数解决某些实际问题。

  (5)二次函数

  ① 通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式,并体会二次函数的意义。

  ② 会用描点法画出二次函数的图象,能从图象上认识二次函数的性质。

  ③ 会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导),并能解决 简单的实际问题。

  ④ 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

(二)案例 

  例1 一次水灾中,大约有20万人的生活受到影响,灾情 将持续一个月。请推断:大约需要组织多少顶帐篷?多少吨粮食?

  说明 假如平均一个家庭有4口人,那么20万人需要5万顶帐篷;假如一个 人平均一天需要05千克的粮食,那么一天需要10万千克的粮食……

  例2 估计(√ 5 -1)/2 与0.5哪个大

  例3 在某地,人们发现某种蟋蟀叫的次数与温度之间有 如下的近似关系:记录蟋蟀每分叫 的次数,用这个次数除以7,然后再加上3,就得到当时的温度。温度(℃)与蟋蟀每分叫的 次数之间的关系是:温度 = 蟋蟀每分叫的次数 ÷7+3。试用字母表示这一关系。

  例4观察下列图形并填表:

梯形个数 1 2 3 4 5 6 ...... n 

周 长 5 8 11 14 ...... 

  例5 对代数式3a作出解释。

  说明 如葡萄的价格是3元/千克,买a 千克的葡萄需3a元;或正三角形的 边长为a,这个三角形的周长是3a。

  例6 化简: (1)(x2-4x+4)/x2-4 ; (2)(x-2)/(x+2)+(x+2)/(x-2)

   例7 估计下列方程的解:

  (1)x3-9=0; (2)x2+2x-10=0。

  例8 5名同学参加乒乓球赛,每两名同学之间赛一 场,一共需要多少场比赛?10名同学呢?

  说明 可以用列举、画图等方法。

 例9 小明的父母出去散步,从家走了20分到一个离家90 0米的报亭,母亲随即按原速返 回。父亲看了10分报纸后,用了15分返回家。下面的图形中哪一个表示父亲离家的时间与距离之间的关系? 哪一个表示母亲离家的时间与距离之间的关系? 

 例10 某书定价8元,如果购买10本以上、超过10本 的部分打八折。试分析并表达出购书数量与付款金额之间的关系。

  例11 填表并观察下列两个函数的变化情况:

x 1 2 3 4 5 ...... 

y1=50+x 

y2=5x 

(1)在同一个直角坐标系中画出上面两个函数的图象,比较它们有什么不同; 

  (2)当x从1开始增大时,预测哪一个函数的值先到达100。

二、空间与图形 

  在本学段中,学生将探索基本图形(直线形、圆)的基本性质及其相互关系,进一步丰 富对 空间图形的认识和感受,学习平移、旋转、对称的基本性质,欣赏并体验变换在现实生活中 的广泛应用,学习运用坐标系确定物体位置的方法,发展空间观念。

  推理与论证的学习从以下几个方面展开:在探索图形性质、与他人合作交流等活动过程中, 发展合情推理,进一步学习有条理地思考与表达;在积累了一定的活动经验与掌握了一定的 图形性质的基 础上,从几个基本的事实出发,证明一些有关三角形、四边形的基本性质,从而体会证明的 必要性,理解证

www.ertong6.com 明的基本过程,掌握用综合法证明的格式,初步感受公理化 思想。

  在教学中,应注重所学内容与现实生活的联系,注重使学生经历观察、操作、推理、想像等 探索过程;应注重对证明本身的理解,而不追求证明的数量和技巧。证明 的要求控制在《标准》所规定的范围内。

  (一)具体目标

  1.图形的认识

  (1) 点、线、面

  通过丰富的实例,进一步认识点、线、面(如交通图上用点表示城市,屏幕上的画面是由 点组成的)。

  (2)角

  ①通过丰富的实例,进一步认识角。

  ②会比较角的大小,能估计一个角的大小,会计算角度的和与差,认识度、分、秒,会进行 简单换算。

  ③了解角平分线及其性质【1】

  (3)相交线与平行线

  注【1】角平分线上的点到角的两边距离相等 ,角的内部到两边距离相等的点在角的平分线上。

  ①了解补角、余角、对顶角,知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等。

  ②了解垂线、垂线段等概念,了解垂线段最短的性质,体会点到直线距离的意义。

  ③知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。

  ④了解线段垂直平分线及其性质【1】 。

  ⑤知道两直线平行同位角相等,进一步探索平行线的性质。

  ⑥知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线,会用三角尺和直尺过已知直线外一 点画这条直线的平行线。 

  ⑦体会两条平行线之间距离的意义,会度量两条平行线之间的距离。

  (4)三角形

  ①了解三角形有关概念(内角、外角、中线、高、角平分线),会画出任意三角形的角 平分线、中线和高,了解三角形的稳定性。

  ②探索并掌握三角形中位线的性质。

  ③了解全等三角形的概念,探索并掌 握两个三角形全等的条件。

  ④了解等腰三角形的有关概念,探索并掌握等腰三角形的性质【2】和一个三角形是等腰三角形的条件[3];了解等边三角形的概念并探索其性质。

  ⑤了解直角三角形的概念,探索并掌握直角三角形的性质[4]和一个三角形是直角三角形的条件[5]

  ⑥体验勾股定理的探索过程,会运用勾股定理解决简单问题;会用勾股定理的逆定理判 定直角三角形。

  (5)四边形

  ① 探索并了解多边形的内角和与外角和公式,了解正多边形的概念。

  ② 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质,了解它们之间的关系 ;了解四边形的不稳定性。

③探索并掌握平行四边形的有关性质[1]和四边形是平行四边形的条件[2]。([注解] [1] 平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。[2] 一组对边平行且相等,或两组对边分别相等,或对角线互相平分的四边形是平行四边形。)

④探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质[3]和四边形是矩形、菱形、正方形的条件 [4]。([注解] [3] 矩形的四个角都是直角,对角线相等;菱形的四条边相等,对角线互相垂直平分。 [4] 三个角是直角的四边形,或对角线相等的平行四边形是矩形;四边相等的四边形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形。)

⑤探索并了解等腰梯形的有关性质[5]和四边形是等腰梯形的条件[6]。([注解] [5] 等腰梯形同一底上的两底角相等,两条对角线相等。[6] 同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形。)

⑥探索并了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心及物理意义(如一根均匀木棒、一块均匀的短形木板的重心)。

⑦通过探索平面图形的镶嵌,知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面,并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。

(6)圆。

①理解圆及其有关概念,了解弧、弦、圆心角的关系,探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系。

②探索圆的性质,了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征。

③了解三角形的内心和外心。

④了解切线的概念,探索切线与过切点的半径

www.ertong6.com 之间的关系;能判定一条直线是否为圆的切线,会过圆上一点画圆的切线。

⑤会计算弧长及扇形的面积,会计算圆锥的侧面积和全面积。

(7)尺规作图。

①完成以下基本作图:作一条线段等于已知线段,作一个角等于已知角,作角的平分线,作线段的垂直平分线。

②利用基本作图作三角形:已知三边作三角形;已知两边及其夹角作三角形;已知两角及其夹边作三角形;已知底边及底边上的高作等腰三角形。

③探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。

④了解尺规作图的步骤,对于尺规作图题,会写已知、求作和作法(不要求证明)。

(8)视图与投影。

①会画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图(主视图、左视图、俯视图),会判断简单物体的三视图,能根据三视图描述基本几何体或实物原型。

②了解直棱柱、圆锥的侧面展开图,能根据展开图判断和制作立体模型。

③了解基本几何体与其三视图、展开图(球除外)之间的关系;通过典型实例,知道这种关系在现实生活中的应用(如物体的包装)。

④观察与现实生活有关的图片(如照片、简单的模型图、平面图、地图等),了解并欣赏一些有趣的图形(如雪花曲线、莫比乌斯带)。

⑤通过背景丰富的实例,知道物体的阴影是怎么形成的,并能根据光线的方向辨认实物的阴影(如在阳光或灯光下,观察手的阴影或人的身影)。

⑥了解视点、视角及盲区的涵义,并能在简单的平面图和立体图中表示。

⑦通过实例了解中心投影和平行投影。

2.图形与变换 。

(1)图形的轴对称。

①通过具体实例认识轴对称,探索它的基本性质,理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质。

②能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形;探索简单图形之间的轴对称关系,并能指出对称轴。[参见例1]

③探索基本图形(等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆)的轴对称性及其相关性质。

④欣赏现实生活中的轴对称图形,结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称,能利用轴对称进行图案设计。

(2)图形的平移。

①通过具体实例认识平移,探索它的基本性质,理解对应点连线平行且相等的性质。

②能按要求作出简单平面图形平移后的图形。

③利用平移进行图案设计,认识和欣赏平移在现实生活中的应用。

(3)图形的旋转。

①通过具体实例认识旋转,探索它的基本性质,理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质。

②了解平行四边形、圆是中心对称图形。

③能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。

④欣赏旋转在现实生活中的应用。

⑤探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合)。[参见例2和例3]

⑤灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。

(4)图形的相似。

①了解比例的基本性质,了解线段的比、成比例线段,通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。

②通过具体实例认识图形的相似,探索相似图形的性质,知道相似多边形的对应角相等,对应边成比例,面积的比等于对应边比的平方。

③了解两个三角形相似的概念,探索两个三角形相似的条件。

④了解图形的位似,能够利用位似将一个图形放大或缩小。

⑤通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似,利用图形的相似解决一些实际问题(如利用相似测量旗杆的高度)。

⑥通过实例认识锐角三角函数(sinA,cosA, tanA),知道30°,45°,60°角的三角函数值;会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它对应的锐角。

⑦运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。

3.图形与坐标。

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(1)认识并能画出平面直角坐标系;在给定的直角坐标系中,会根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。[参见例4]

(2)能在方格纸上建立适当的直角坐标系,描述物体的位置「参见例5」

(3)在同一直角坐标系中,感受图形变换后点的坐标的变化[[参见例6]

(4)灵活运用不同的方式确定物体的位置。[参见例7]

  4.图形与证明。

(1)了解证明的含义。

①理解证明的必要性。

②通过具体的例子,了解定义、命题、定理的含义,会区分命题的条件(题设)和结论。

③结合具体例子,了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,并知道原命题成立其逆命题不一定成立。

④通过具体的例子理解反例的作用,知道利用反例可以证明一个命题是错误的。

⑤通过实例,体会反证法的含义。

⑥掌握用综合法证明的格式,体会证明的过程要步步有据。

(2)掌握以下基本事实,作为证明的依据。

①一条直线截两条平行直线所得的同位角相等。

②两条直线被第三条直线所截,若同位角相等,那么这两条直线平行。

③若两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边,或三边)分别相等,则这两个三角形全等。

④全等三角形的对应边、对应角分别相等。

(3)利用(2)中的基本事实证明下列命题[1] ([注解][1]练习和考试中与证明有关的题目难度,应与所列命题的论证难度相当。)

①平行线的性质定理(内错角相等、同旁内角互补)和判定定理内错角相等或同旁内角互补,则两直线平行]。

②三角形的内角和定理及推论(三角形的外角等于不相邻的两内角的和,三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角)。

③直角三角形全等的判定定理。

④角平分线性质定理及逆定理;三角形的三条角平分线交于一点(内心)。

⑤垂直平分线性质定理及逆定理;三角形的三边的垂直平分线交于一点(外心)。

⑥三角形中位线定理。

⑦等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理。

⑧平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理。

(4)通过对欧几里得《原本》的介绍,感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值。

(二)案例     例1 以树干为对称轴,画出树的另一半。

 例1图                       例2图                           例3图

例2 请说出下面乙树是怎样由甲树变换得到的?   

例3 观察下面的图案,它可以看成是由哪个图形经过怎样的变换产生的?

例4 在坐标系中描出下列各点,并将各组的点顺次连接起来:

①(2,0),(4,0),(6,2),(6,6),(5,8),(4,6),

        (2,6),(1,8),(0,6),(0,2),(2,0);

②(1,3),(2,2),(4,2),(5,3);

③(1,4),(2,4),(2,5),(1,5),(1,4);

④(4,4),(5,4),(5,5),(4,5),(4,4);

⑤(3,3)。

观察这个图形,你觉得它像什么?

例5 下图是某市旅游景点的示意图。试建立直角坐标系,用坐标表示各个景点的位置:

例6 如图所示,在直角坐标系下,图1中的图案“A”经

www.ertong6.com 过变换分别变成图2~图6中的相应图案(虚线对应于原图案),试写出图2~图6中各项点的坐标,探索每次变换前后图案发生了什么变化、对应点的坐标之间有什么关系。

例7 张坚在某市动物园的大门口看到这个动物园的平面示意图(如下图)。试借助刻度尺、量角器解决如下问题:

(1)建立适当的直角坐标系,用坐标表示猴山、驼峰、百鸟园的位置;

(2)填空:百鸟园在大门的北偏东     度的方向上,到大门的图上距离 约为      厘米;

熊猫馆在大门的北偏     度的方向上,到大门的图上距离约为     厘米;驼峰在大门的南偏     度的方向上,到大门的图上距离约为     厘米。说明 本题旨在让学生体会除用直角坐标系描述物体的位置外。还可以选定某个参照物和某个方向,用距离和角度来刻画物体的位置。

三、统计与概率

在本学段中,学生将体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想,进一步学习描述数据的方法,进一步体会概率的意义,能计算简单事件发生的概率。

在教学中,应注重所学内容与日常生活、自然、社会和科学技术领域的联系,使学生体会统计与概率对制定决策的重要作用;应注重使学生从事数据处理的全过程,根据统计结果作出合理的判断;应注重使学生在具体情境中体会概率的意义;应加强统计与概率之间的联系;应避免将这部分内容的学习变成数字运算的练习,对有关术语不要求进行严格表述。

(一)具体目标

1.统计,

(1)从事收集、整理、描述和分析数据的活动,能用计算器处理复杂的统计数据。

(2)通过丰富的实例,感受抽样的必要性,能指出总体、个体、 样本,体会不同的抽样可能得到不同的结果。[参见例1]

(3)会用扇形统计图表示数据。

(4)在具体情境中理解并会计算加权平均数;根据具体问题,能选择合适的统计量表示数据的集中程度。

(5)探索如何表示一组数据的离散程度,会计算极差和方差,并会用它们表示数据的离散程度。[参见例2]

(6)通过实例,理解频数、频率的概念,了解频数分布的意义和作用,会列频数分布表,画频数分布直方图和频数折线图,并能解决简单的实际问题。

(7)通过实例,体会用样本估计总体的思想,能用样本的平均数、方差来估计总体的平均数和方差。

(8)根据统计结果作出合理的判断和预测,体会统计对决策的作用,能比较清晰地表达自己的观点,并进行交流。

(9)能根据问题查找有关资料,获得数据信息;对日常生活中的某些数据发表自己的看法。

(10)认识到统计在社会生活及科学领域中的应用,并能解决一些简单的实际问题。[参见例3]

2.概率。

(1)在具体情境中了解概率的意义,运用列举法(包括列表、画树状图)计算简单事件发生的概率。[参见例4和例5]

(2)通过实验,获得事件发生的频率;知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值。[参见例6]

(3)通过实例进一步丰富对概率的认识,并能解决一些实际问题。[参见例7]

(二)案例

例1 电视台需要在本市调查某节目的收视率,每个看电视的人,都要被问到吗?对一所大学学生的调查结果能否作为该节目的收视率?你认为对不同社区、年龄层次、文化背景的人所做的调查结果会一样吗?

例2 下面是两个水果店1至6月份的销售情况(单位:千克),比较两个水果店销售量的稳定性。

1月 2月 3月 4月 5月 6月

甲商店 450 440 480 420 580 550

乙商店 480 440 470 490 520 520

例3 统计某商店一个月内几种商品的销售情况,对这个商店的进货提出你的建议。

例4 一个袋中装有2个黄球和2个红球,任意摸出一个球后放回,再任意摸出一个球,求两次都摸到红球的概率。        

例5 如图转动转盘,求转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率。

例6 通过实验获得图钉从一定高度落下后针尖着地的频率。

例7 一个游戏的中奖率是1%,买100张奖券,一定会中奖吗?

四、课题学习

关键字: 数学课堂,小学数学课件